فصل او ل 1 دایره هندسه در ساخت استحکامات دفاعی قلعهها و برج و باروها از دیرباز کاربردهای بسیاری داشته است. یک قضیۀ بنیادی در هندسه موسوم به»قضیۀ همپیرامونی«میگوید در بین همۀ شکلهای هندسی بسته با محیط ثابت دایره دارای بیشترین مساحت است. این موضوع در طراحی دایرهای شکل قلعهها اهمیت بسیاری دارد. قلعۀ فلکاالفالک )شاپور خواست( که از دورۀ ساسانیان در شهرستان خرمآباد بهجای مانده است نمونۀ گویایی از همین کاربردهاست. 9
درس او ل مفاهیم اولیه و زاویه ها در دایره دایره یکی از شکل های مهم در هندسه است که در پایه های قبل با تعریف و برخی از ویژگی های آن آشنا شده اید. در ادامه با استفاده از شکل دایره برخی موارد یادآوری شده است که از قبل با آنها آشنایی دارید. همان طور که می دانید تمام نقاطی که روی دایره واقع اند از مرکز دایره به یک فاصل ه ثابت )اندازه شعاع دایره( هستند. معموال دایره به مرکز و شعاع را به صورت (o,) نمایش می دهیم. با توجه به شکل دایره به سادگی می توان نشان داد که: الف( اگر نقطه ای مانند روی دایره (o,) باشد فاصله آن تا مرکز دایره شعاع دایره است. ب( اگر نقطه ای مانند بیرون دایره (o,) باشد فاصله آن تا مرکز دایره شعاع دایره است. پ( اگر نقطه ای مانند درون دایره (o,) باشد فاصله آن تا مرکز دایره شعاع دایره است. اوضاع نسبی خط و دایره در پایه های قبل با اوضاع نسبی خط و دایره تا حدودی آشنا شدید و دیدید که یک خط و یک دایره می توانند یک یا دو نقطه اشتراک داشته و یا هیچ نقطه اشتراکی نداشته باشند. در حالتی که خط و دایره تنها در یک نقطه مشترک باشند اصطالحا گفته می شود خط بر دایره مماس است و در حالتی که خط و دایره دو نقطه اشتراک داشته باشند خط و دایره را متقاطع می نامند. در این حالت خط را نسبت به دایره قاطع می نامیم. d 3 d 2 F d 1 یادآوری اگر خط d و نقطه غیرواقع بر d داده شده و نقطه پای عمودی باشد که از به d رسم می شود اندازه پاره خط همان فاصله نقطه از خط d است و فاصله نقط ه.) > ( از این مقدار بزرگ تر است d از دیگر نقاط خط d 10
d اگر d یک خط و (o,) یک دایره و نقطه پای عمودی باشد که از نقطه به خط d رسم می شود موارد زیر را کامل کنید. الف( اگر فاصله خط d از مرکز دایره از شعاع کمتر باشد ) ) < خط و دایره نقطه اشتراک دارند یعنی متقاطع اند d ب( اگر فاصله خط از مرکز دایره با شعاع برابر باشد ) ) = خط و دایره نقطه اشتراک دارند یعنی d پ( اگر فاصله خط از مرکز دایره از شعاع بزرگ تر باشد ) ) > خط و دایره F d ١ فرض کنیم خط d بر دایره در نقطه F مماس است. الف( نزدیک ترین نقطه خط d به نقطه کدام است چرا ب( از به d عمود کنید. این خط عمود خط d را در کدام نقطه قطع می کند چرا پ( نتیجه: اگر F نقطه ای روی دایره باشد شعاع F و خط مماس بر دایره در نقطه F. 2 خط d در نقطه F به شعاع F عمود است. با تعیین وضعیت همه نقاط خط d نسبت به دایره نشان دهید این خط با دایره فقط یک نقطه تماس دارد و بنابراین بر دایره مماس است. F d 3 با توجه به قسمت های 1 و 2 اگر نقطه ای مانند F روی دایره داده شده باشد چگونه می توانید خط مماس بر دایره را در نقطه F رسم کنید بنابراین: F G کامن وتر E یک خط و یک دایره بر هم مماس اند اگر و تنها اگر این خط در نقطۀ تماس با دایره بر شعاع آن نقطه عمود باشد. زوایای مرکزی محاطی و ظلی با تعاریف زوایای مرکزی و محاطی و کمان یک دایره در پایه های قبل آشنا شده اید. در اینجا به یادآوری برخی مفاهیم می پردازیم. ١ شعاع دایره: پاره خطی که یک سر آن مرکز دایره و سر دیگر آن نقطه ای روی دایره باشد. ٢ وتر دایره: پاره خطی که دوسر آن روی دایره باشد. زاویۀ مرکزی روبه رو به زاویۀ محاطی روبه رو به کامن E خط مامس بر دایره در نقطۀ F d 11
٣ قطر دایره: وتری از دایره که از مرکز دایره می گذرد. ٤ زاویۀ مرکزی: زاویه ای است که رأس آن بر مرکز دایره واقع باشد. ٥ زاویۀ محاطی: زاویه ای است که رأس آن روی دایره و اضالع آن شامل دو وتر از دایره باشند. ٦ کمان: کمان دایره شامل دو نقطه روی دایره و تمام نقاط بین آن دو نقطه است به این ترتیب هر دو نقطه از دایره مانند و دو کمان را روی دایره مشخص می کنند. برای مشخص کردن آنها می توان از نقطه ای دیگر روی هر کمان استفاده کرد مثال در شکل مقابل نقاط و دو کمان و را مشخص می کنند. معموال منظور از کمان کوچک تر مشخص شده توسط و است. ٧ اندازه کمان همان اندازه زاویه مرکزی مقابل به آن کمان تعریف می شود و واحد آن درجه است. ٨ با توجه به شکل به سادگی دیده می شود که کمان های دایره های مختلف می توانند اندازه های برابر و طول های نابرابر داشته باشند. 1 30 30 1 2 30 2 1 با توجه به اینکه محیط دایره یک کمان به اندازه ٣٦٠ است خواهیم داشت: طول کمان اندازه کمان = ٣٦٠ محیط دایره 1 2 با توجه به شکل اندازه کمانهای زیر را بنویسید. = طول = 1 1 = طول 1 1 = 60 1 1 1 3 ناحیهای از درون و روی دایره را که به دو شعاع دایره و آن دایره محدود است یک قطاع دایره مینامند. اگر زاویه مرکزی قطاعی از دایره (,R) برحسب و R درجه مساوی α باشد نشان دهید طول کمان برابر است با: L = π α 180 2 R مساحت قطاع برابر است با: S = π α 360 S 12
١ فرض کنید اندازه های کمان های و از دایره (o,) باهم برابرند. با تشکیل مثلث های و نشان دهید وترهای و نیز باهم برابرند. ٢ فرض کنید دو وتر و از یک دایره باهم برابرند. ثابت کنید اندازه های کمان های و نیز باهم برابرند. ٣ وتر و قطری از دایره که بر وتر عمود است مانند شکل مقابل داده شده است. با تشکیل مثلث های و ثابت کنید قطر وتر و کمان را نصف می کند. ٤ این بار فرض کنید قطر وتر را نصف کرده است و نشان دهید بر عمود است و کمان را نصف می کند. ٥ حال فرض کنید قطر کمان را نصف کرده است. نشان دهید بر عمود است و آن را نصف می کند. ٦ اگر نقاط وسط وتر و کمان را داشته باشیم چگونه می توانیم قطر عمود بر وتر را رسم کنیم ١ در شکل مقابل یک زاویه محاطی است که یک ضلع آن از مرکز دایره عبور کرده است. اگر از به وصل کنیم زاویه یک زاویه خارجی برای مثلث است. بنابراین: = +... =2 و از آن نتیجه میشود: = 1 = 1... 2 2 13
٢ در این شکل یک زاویه محاطی است که دو ضلع آن در دو طرف واقع شده اند. اگر قطر E را رسم کنیم طبق قسمت ١ داریم: E 1... E = 2 1... = E 1... 2 = 2 ٣ در این شکل یک زاویه محاطی است که دو ضلع آن در یک طرف واقع شده اند. اگر قطر E را رسم کنیم طبق قسمت ١ داریم: E 1... E = 2 1... = E 1... 2 = 2 بنابراین: قضیه: اندازۀ هر زاویۀ محاطی برابر است با نصف اندازۀ کمان مقابل به آن زاویه. زاویۀ ظلی نوع دیگری از زاویه که در دایره مطرح است زاویه ظلی است. زاویه ظلی زاویهای است که رأس آن روی دایره قرار دارد و یکی از اضالع آن مماس بر دایره وضلع دیگر آن یک زاویه ظلی است. شامل وتری از دایره باشد. در شکل مقابل ١ زاویه ظلی را درنظر بگیرید و قطری از دایره را رسم کنید که شامل نقطه هست. و بنابراین: =... الف( = 1 2... ب( زاویه یک زاویه محاطی است. = 1 بنابراین:... 2 14
1 = (...... ) 2 = 1... 2 پ( از )الف( و )ب( داریم: و بنابراین ت( نشان دهید نتیجه قسمت )پ( برای یک زاویه ظلی منفرجه نیز برقرار است. بنابراین: قضیه: اندازۀ هر زاویۀ ظلی برابر است با کمان روبه رو به آن زاویه. ١ در شکل مقابل وترهای و موازی هستند. الف( از به وصل کنید. زوایای و نسبت به هم چگونه اند چرا ب( کمان های و نسبت به هم چگونه اند چرا G E F ٢ در شکل مقابل کمان های EG و F هم اندازه اند. الف( وترهای EF و G و پاره خط E را رسم کنید. ب( زوایای FE و EG نسبت به هم چگونه اند چرا پ( وترهای EF و G نسبت به هم چگونه اند چرا دو وتر که یکدیگر را درون دایره قطع نمی کنند با هم موازی اند اگر و تنها اگر کمان های محدود بین آنها مساوی باشد. تاکنون زاویه هایی را بررسی کردیم که رأس آنها روی دایره باشد و رابطه اندازه این زاویه ها را با اندازه کمان های ایجاد شده توسط آنها مشخص کردیم. حال به بررسی این موضوع برای زاویه هایی می پردازیم که رأس آنها درون یا بیرون دایره است و اضالعشان کمان هایی روی دایره جدا می کنند. F E ١ فرض کنید رأس زاویه E مانند شکل مقابل بیرون دایره واقع شده و کمان های E و توسط اضالع زاویه موردنظر مشخص شده باشد. الف( از نقطه خطی موازی خط رسم کنید تا دایره را در نقطه ای مانند F قطع کند. علت هرکدام از تساوی های زیر را مشخص کنید. 1 1 E FE FE (E F) 1 = = = = (E ) 2 2 2 15
ب( از به وصل کنید و به کمک زاویه خارجی در مثلث رابطه فوق را اثبات کنید. ٢ رأس زاویه E مانند شکل در درون دایره است و اضالع این زاویه کمان های و E را مشخص کرده اند. الف( از نقطه خطی موازی خط رسم کنید تا دایره را در نقطه ای مانند F قطع کند. علت هرکدام از تساوی های زیر را مشخص کنید. F 1 1 E FE FE (F E) 1 = = = + = ( + E) 2 2 2 ب( از به وصل کنید و به کمک زاویه خارجی مثلث رابطه فوق را اثبات کنید. E ١ در شکل های زیر ثابت کنید: راهنمایی: از نقطۀ خطی موازی ضلع دیگر زاویه رسم کنید. = 2 پ( = 2 ب( الف( d 1 d 2 ثابت کنید = ٢ در شکل مقابل اندازه زاویه α را به دست آورید. 91 31 16
Q 80 70? چند درجه ٣ در شکل اضالع زاویه های و بر دایره مماس اند. اندازه زاویه است P N 75 ٤ در دایره رسم شده شکل مقابل اندازه کمان را به دست آورید. ٥ در شکل مقابل قطری از دایره است و وترهای و موازی اند. ثابت کنید: = 6 دایره (,R) مفروض است. از نقطه در خارج دایره خطی چنان رسم کرده ایم که دایره را در دو نقطه و قطع کرده است و = R نشان دهید: β = 3α 7 در دایره (,R) = 60 و = 10 فاصله از وتر را به دست آورید. 8 در دایره (,R) نشان دهید > اگر و تنها اگر > ( و فاصله از دو وتر و هستند.( راهنمایی: از به و وصل و از قضیة فیثاغورس استفاده کنید. 17
درس دوم رابطه های طولی در دایره اگر خط های شامل دو وتر از یک دایره یکدیگر را در درون یا بیرون دایره قطع کنند بین اندازه پاره خط های حاصل روابطی داریم که به بررسی آنها می پردازیم. ١ دو وتر و در نقطه در داخل دایره یکدیگر را قطع کرده اند. الف( از به و از به وصل کنید و نشان دهید دو مثلث و متشابه اند. =... ب( با توجه به تشابه این دو مثلث داریم: 1 و در نتیجه:........ = ٢ خطهای شامل دو وتر و درنقطه در خارج دایره یکدیگر را قطع کردهاند. الف( نقطه را به و نقطه را به وصل کنید و نشان دهید دو مثلث و باهم متشابهاند. =... ب( با توجه به این تشابه داریم: 2 و در نتیجه:........ = قضیه: هرگاه خط های شامل دو وتر دلخواه و در نقطه ای مانند )درون یا بیرون دایره( یکدیگر را قطع کنند. آن گاه:. =. 3 فرض کنیم از نقطه )خارج دایره( مانند شکل یک مماس و یک قاطع بر دایره رسم کردهایم. الف( T را به و وصل و مشخص کنید چرا T = T T 18
ب( علت تشابه دو مثلث T و T را مشخص و با توجه به این تشابه رابطه زیر را کامل کنید. T = T... و در نتیجه:....... = 2 T بنابراین قضیه زیر را داریم: قضیه: هرگاه نقطه ای بیرون دایره باشد و از مماس و قاطعی نسبت به دایره رسم کنیم مربع اندازۀ مماس برابر است با حاصل ضرب اندازه های دو قطعۀ قاطع یعنی طول مماس واسطه هندسی بین دو قطعه قاطع است. T رسم مماس بر دایره از نقطه ای خارج دایره اگر خط d در نقطه T بر دایره مماس باشد و و دو نقطه بر خط d در دوطرف نقطه T باشد هرکدام از پاره خط های T و T بر دایره مماس اند. اگر مرکز دایره باشد T دررأس T قائم الزاویه است چرا d N اگر N وسط پاره خط باشد N = N = NT چرا بنابراین دایره به مرکز Nو قطر از نقطه T می گذرد. از این ویژگی می توانیم در رسم مماس بر دایره از نقطه خارج دایره بر آن استفاده کنیم. T پس برای رسم مماس بر دایره از نقطه خارج دایره ابتدا دایره ای به قطر ( مرکز دایره( رسم می کنیم. N این دایره دایره مفروض را در دو نقطه T و T قطع می کند. خط های T و T بر دایره مماس اند چرا T 19
هرگاه از نقطه خارج دایره (,R) دو مماس بر دایره رسم کنیم و T و T نقاط تماس باشند ثابت کنید: الف( اندازه های دو مماس برابرند. ب( نیم خط نیمساز زاویه TT است. حالت های دو دایره نسبت به هم و مماس مشترک ها دو دایره (,R) و (,R ) را با فرض R R > و = d درنظر می گیریم. حالت های مختلفی که این دو دایره می توانند نسبت به هم داشته باشند به صورت زیر است: دو دایره برون هم )متخارج( Rʹ d > R + d = R + Rʹ دو دایره مماس برون دو دایره متقاطع Rʹ R - Rʹ < d < R + d = R - Rʹ دو دایره مماس درون d < R - Rʹ دو دایره متداخل d = 0 دایره های هم مرکز 20
هر خطی یا پاره خطی که بر هردو دایره مماس باشد مماس مشترک دو دایره است. اگر دو دایره در یک طرف خط باشند آن را مماس مشترک خارجی و اگر دو دایره در دو طرف خط باشند آن را مماس مشترک داخلی می نامند. ١ فرض کنیم مانند شکل خط m در نقاط T و T بر دو دایره مماس است و شعاعهای T و T رسم شدهاست. فرض کنیم فاصله بین مرکزهای دو دایره برابر d باشد از خطی موازی خط m رسم میکنیم تا شعاع T را در نقطهای مانند قطع کند. R T R T m n الف( TT مستطیل است چرا ب( با توجه به قضیه فیثاغورس در مثلث تساوی زیر را توجیه کنید. 2 2 TT = d (R R ) پ( با توجه به کار در کالس قبل بگویید چرا اگر دو مماس مشترک m و n متقاطع باشند نقطه تقاطع آنها روی خط خواهد بود ت( به مرکز و به شعاع R-R دایره ای رسم کنید. پاره خط برای دایره رسم شده چگونه خطی است ث( فرض کنید دو دایره داده شده و رسم مماس مشترک خواسته شده باشد. از آنجا که مرکزها و شعاع های دو دایره معلوم است می توان دایره مطرح شده در قسمت )ت( را رسم کرد و سپس مماس را بر آن رسم کرد در این صورت چگونه می توانید مماس TT را رسم کنید 21
2 دو مماس مشترک داخلی l و k بر دو دایره متخارج مطابق شکل رسم شده است. با به کار بردن قضیه فیثاغورس در نشان دهید : 1 T 2 2 TT = d (R + R ) R T R 3 دو دایره مماس. دو دایره را که فقط یک نقطه مشترک داشته باشند مماس می نامند. در این نقطه مشترک یک خط بر هر دو مماس است. اگر مرکزهای دو دایره در دوطرف این مماس باشند آن دو دایره مماس برونی است و اگر هر دو مرکز در یک طرف این مماس باشند آنها را مماس درونی می نامند. l k R T R T R R R مماس داخلاند فقط یک مماس مشترک دارند. = R R مماس خارجاند سه مماس مشترک دارند. = R+ R با استفاده از دستور محاسبه طول مماس مشترک خارجی نشان دهید در دو دایره مماس خارج RR TT = 2 4 دو دایره متقاطع. دو دایره را که دو نقطه مشترک داشته باشند متقاطع می نامند. در این حالت دو دایره فقط دو مماس مشترک دارند. و R R- R < < R + چرا پاره خط که دوسر آن روی هر دو دایره است وتر مشترک دو دایره متقاطع است. چرا پاره خط عمودمنصف وتر مشترک است R R 5 دو دایره متداخل. دو دایره را که تمام نقاط یکی درون دیگری باشد متداخل می نامیم. دو دایره متداخل هیچ مماس مشترک ندارند و در آنها R < R - 1 رسم مماس مشترک داخلی دو دایره از اهداف این کتاب نیست. < R - R 22
١ در دایره (,R) وتر وتر به طول ٩ سانتی متر را به نسبت ١ به ٢ تقسیم کرده است. اگر 11cm = آن گاه وتر وتر را به چه نسبتی قطع می کند N ٢ از نقطه P در خارج دایره ای مماس P به طول 10 3 را بر آن رسم کرده ایم ) روی دایره است(. همچنین خطی از P گذرانده ایم که دایره را در دو نقطه و قطع کرده است و = ٢٠. طول های P و P را به دست آورید. N T 2 T 1 T 4 T 3 T ٣ در شکل مقابل دو دایره برهم مماس و دو قطر و از دایره بزرگ تر برهم عمودند. اگر = ١٦ و = ١٠ N شعاع های دو دایره را پیدا کنید. ٤ مطابق شکل مقابل تمام دایره ها در نقطه T برهم مماس اند و از نقطه روی مماس مشترک آنها بر دایره ها مماس رسم کرده ایم ثابت کنید T 1 = T 2 = T 3 = T 4 =... ٥ طول شعاعهای دو دایره متخارج را بهدست آورید که طول مماس مشترک خارجی آنها مساوی 3 7 و طول مماس مشترک داخلی آنها 15 و طول خطالمرکزین آنها مساوی ٨ واحد است. 60 60 6 سه دایره به شعاعهای برابر دو به دو برهم مماساند. مطابق شکل مقابل این سه دایره به وسیله نخی بسته شدهاند. نشان دهید طول این نخ برابر ٦. + 2π 2 π همچنین نشان دهید مساحت ناحیه محدود به سه دایره برابر ) 3 ( است. 2 60 7 طول خط المرکزین دو دایره مماس درونی ٢ سانتی متر و مساحت ناحیه محدود بین آنها 16 π سانتی مترمربع است. طول شعاع های دو دایره را به دست آورید. 4 60 4 8 مطابق شکل دایره به شعاع ٤ مساحت ناحیه سایه زده را محاسبه کنید. این ناحیه یک قطعه دایره نام دارد. 23
درس سوم چند ضلعی های محاطی و محیطی چند ضلعی را محاطی می گوییم اگر و فقط اگر دایره ای باشد که از همه رئوس آن بگذرد در این صورت دایره را دایرۀ محیطی آن چند ضلعی می نامیم. به طور مثال E یک پنج ضلعی محاطی است. می دانیم برای اینکه دایره ای از دو نقطه بگذرد باید مرکز آن روی عمود منصف پاره خطی باشد که آن دو نقطه دو سر آن است بنابراین: E یک چند ضلعی محاطی است اگر و فقط اگر عمود منصف های همه ضلع های آن در یک نقطه همرس باشند. این نقطه مرکز دایره محیطی چند ضلعی است. چرا چند ضلعی را محیطی می گوییم اگر و فقط اگر دایره ای باشد که بر همه ضلع های آن مماس باشد در این صورت دایره را دایرۀ محاطی این چند ضلعی می نامیم. E فرض کنید دایره بر دو ضلع زاویه ای مانند شکل مماس باشد. الف( 1 پاره خط هایی که مرکز دایره را به نقاط تماس اضالع با دایره وصل می کند رسم کنید و آنها را و بنامید. 2 پاره خط های و برای دایره چه نوع پاره خطی هستند 3 فاصله نقطه )مرکز دایره( تا ضلع های زاویه مفروض با طول پاره خط های رسم شده ( و ) چه رابطه ای دارد 4 با توجه به )2( و )3( فاصله مرکز دایره از دو ضلع زاویه.... و بنابراین نقطه روی.... 24
5 فرض کنید مانند شکل مقابل دایره در یک چند ضلعی محاط شده باشد. چرا مرکز دایره محل برخورد نیمساز های زاویه های داخلی چند ضلعی است ب( فرض کنید یک چند ضلعی مانند شکل مقابل به گونه ای باشد که نیمسازهای زوایای داخلی آن در نقطه یکدیگر را قطع کرده باشند و پاره خط عمود به یک ضلع چند ضلعی باشد. دایره ای به مرکز و شعاع برای چند ضلعی مفروض چه نوع دایره ای است چرا بنابراین یک چند ضلعی محیطی است اگر و فقط اگر همه نیمسازهای زاویههای آن در یک نقطه همرس باشند.این نقطه مرکز دایره محاطی چند ضلعی است. اگر در یک n ضلعی محیطی با مساحت S و محیط 2P شعاع دایره محاطی برابر. S=p باشد نشان دهید راهنمایی: کافی است مساحت n مثلث را محاسبه و با هم جمع کنید. ===R دایره های محیطی و محاطی مثلث قبال همرسی سه عمود منصف یک مثلث را ثابت کرده ایم بنابراین نقطه همرسی سه عمود منصف مثلث تنها نقطه ای است که از سه رأس یک مثلث به یک فاصله است. پس اگر دایره ای به مرکز نقطه تالقی سه عمود منصف و به شعاع فاصله این نقطه تا یک رأس رسم کنیم این دایره از هر سه رأس مثلث می گذرد یعنی دایره محیطی مثلث است. در نتیجه مثلث همواره محاطی است. ʺ =ʹ=ʺ= همچنین ثابت کرده ایم سه نیمساز زاویه های داخلی مثلث در نقطه ای درون مثلث همرس اند. در نتیجه مثلث محیطی نیز هست. بنابر ویژگی نیمساز این نقطه از هر سه ضلع مثلث به یک فاصله است. پس مرکز دایره محاطی مثلث نقطه همرسی سه نیمساز است و شعاع این دایره که آن را با نشان می دهیم فاصله این نقطه از هر یک از سه ضلع است. بنابر آنچه در مورد n ضلعی های محیطی نشان دادیم در مثلث نیز =S p که S مساحت و P نصف محیط مثلث است. 25
اگر نیمساز زاویه از را رسم کنیم نیمساز زاویه خارجی را در نقطه ای مانند قطع می کند. این نقطه از خط و خط های و به یک فاصله است چرا بنابراین نیز مرکز دایره ای است که بر ضلع و خط های شامل دو ضلع دیگر مماس است. این دایره را دایره محاطی خارجی نظیر رأس می نامند. شعاع این دایره را با a نشان می دهند به همین ترتیب دو دایره محاطی خارجی دیگر نظیر دو رأس و وجود دارد. c b I a T a a a T J J I J اکنون در فعالیت زیر محاسبه شعاع دایره محاطی خارجی را بررسی می کنیم. در شکل داریم:( S()=S()+S()-S( اگر مساحت. اگر محیط مثلث را با 2p 1 S= a ( + ) نشان دهیم S را به 2 نشان دهیم داریم 2p=a+b+c پس = 2p-2a در نتیجه (P-a) =S a و S a به طور مشابه برای اضالع دیگر داریم: = p a بنابراین b = c = برخالف مثلث همه چند ضلعی های دیگر لزوما محاطی یا محیطی نیستند. در بخش بعد به شرایط محاطی یا محیطی بودن یک چهار ضلعی می پردازیم. 26
چهار ضلعی های محاطی و محیطی قضیه: یک چهار ضلعی محاطی است اگر و فقط اگر دو زاویه مقابل آن مکمل باشند. اثبات 1 فرض کنیم چهار ضلعی محاطی باشد مجموع اندازه های, نصف مجموع اندازه های کمان های و است اما مجموع اندازه های این دو کمان است و در نتیجه مجموع اندازه های, برابر.. است. به همین ترتیب, مکمل اند. 2 فرض کنیم, مکمل باشند. با برهان خلف ثابت می کنیم چهارضلعی محاطی است. از سه نقطه و همواره یک دایره می گذرد چرا اگر این دایره از نگذرد خط را در نقطه ای دیگری مانند ʹ قطع می کند که ʹ بین و یا بین ʹ و است. اکنون چهارضلعی ʹ است پس و مکملاند در نتیجه باید و هماندازه باشند و این ممکن نیست چرا در نتیجه ʹ همان است. قضیه: یک چهارضلعی محیطی است اگر و فقط اگر مجموع اندازه های دو ضلع مقابل برابر مجموع اندازه های دو ضلع دیگر باشند. اساس اثبات بر این است که اگر از نقطه ای بیرون دایره دو مماس بر دایره رسم کنیم دو پاره خط مماس هم اندازه اند. 27
اثبات 1 اگر چهارضلعی محیطی باشد +=+ +P+ =Q+ +N+ =+ عکس این قضیه نیز با برهان خلف ثابت می شود. Q N 2 فرض کنید:.+=+ نیمسازهای دو زاویه و همدیگر را در نقطه ای مانند I قطع می کنند. با توجه به ویژگی نیمساز چرا نقطه I از سه ضلع و و به یک فاصله است ) I=IN=IP ( چرا دایره ای به مرکز I و شعاع I بر و و مماس است حال اگر این دایره بر هم مماس باشد حکم ثابت شده است. اما اگر این دایره بر مماس نباشد از بر آن مماسی رسم می کنیم تا خط را در نقطه ای مانند E قطع کند در این صورت E بین P و یا بین E و P واقع می شود. پس +E=E+ )چرا ( از این رابطه با استفاده از رابطه فرض چگونه نتیجه می گیرید: =E+E E P I P N این رابطه امکان ندارد )چرا ( پس E همان است و دایره بر ضلع نیز مماس است. جدول زیر را کامل کنید. مربع مستطیل لوزی متوازی االضالع ذوزنقه ذوزنقه متساوی الساقین کایت.................. محاطی.................. محیطی از دیگر چندضلعی های محاطی و محیطی چند ضلعی های منتظم است. یک چند ضلعی محدب را منتظم می نامند هرگاه تمام ضلع های آن هم اندازه و تمام زاویه های آن نیز هم اندازه باشند. مثلث متساوی االضالع سه ضلعی منتظم و مربع چهارضلعی منتظم است. 28
در فعالیت زیر نشان می دهیم هر چندضلعی منتظم هم محاطی و هم محیطی است:? N فرض کنید اندازه هر زاویه n ضلعی منتظم... 2 α باشد عمود منصفهای دو ضلع و را رسم میکنیم. فرض کنیم در متقاطعاند. بنابراین.= = پس چرا = = = =αα اکنون از به وصل میکنیم. چرا اندازه برابر α است چرا و === با ادامه این روند داریم: ==== و =N== بنابراین از همه رأس ها به یک فاصله است پس مرکز دایره ای است که از تمام رأس های n ضلعی منتظم می گذرد. به همین ترتیب از تمام ضلع ها به یک فاصله است پس مرکز دایره ای است که بر تمام ضلع های n ضلعی منتظم مماس است. 1 ثابت کنید یک ذوزنقه محاطی است اگر و تنها اگر متساوی الساقین باشد. 2 مساحت مثلث متساوی االضالعی را به دست آورید که در دایره ای به شعاع R محاط شده باشد. 3 ثابت کنید عمود منصف یک ضلع هر مثلث و نیمساز زاویه مقابل به آن ضلع یکدیگر را روی دایره محیطی مثلث قطع می کنند. 4 یک ذوزنقه هم محیطی است و هم محاطی. ثابت کنید مساحت این ذوزنقه برابر است با میانگین حسابی دو قاعده آن ضرب در میانگین هندسی آنها. 5 اگر b, a و c شعاعهای سه دایره محاطی خارجی مثلث و شعاع دایره محاطی داخلی باشد نشان دهید. 1 1 1 1 + + = a b c 29
به همین ترتیب اگر h b h a و h c اندازه های سه ارتفاع باشند نشان دهید: 1 1 1 1 + + = h h h a b c 6 اگر نقاط تماس دایره محاطی داخلی مثلث با اضالع آن N و K باشند و T وʹ T نقطه های تماس یک دایره محاطی خارجی با خط های شامل دو ضلع باشند نشان دهید: =N=P-a T c N K a b T N=K=P-b, =K=P-c T=Tʹ=P 7 یک دایره به شعاع و n ضلعیهای منتظم محاطی و محیطی در آن در نظر بگیرید. نشان دهید اگر و اندازههای ضلعیهای n ضلعی منتظم محیطی و 180 180 = محاطی باشند آنگاه = 2. 2sin و tan n n 180 n 8 شش ضلعی منتظم EF مفروض است با امتداد دادن اضالع شش ضلعی. مطابق شکل مثلث NP را ساخته ایم. الف( نشان دهید NP متساوی االضالع است. ب( نشان دهید مساحت شش ضلعی دو سوم مساحت مثلث NP است. پ( از نقطه دلخواه T درون شش ضلعی عمودهای Tʹ T و Tʺ را به ترتیب بر E و F رسم کنید. با توجه به آنچه از هندسه پایه 1 می دانید مجموع طول های این سه عمود با کدام جزء از مثلث NP برابر است P F E N ت( مجموع مساحت های مثلث های TE T و TF چه کسری از مساحت مثلث NP است نشان دهید: S T +S TE +S TF =S T +S TEF +S T 30
9 دو قطر عمود بر هم و از یک دایره را رسم می کنیم چهارضلعی یک مربع است چرا عمود منصف های ضلع های این مربع را رسم کنید تا دایره را قطع کنند. نشان دهید هشت ضلعی QPN منتظم است. Q P N )خواندنی( P P? 360-2 N 2 2 N زاویههای دید و کمان شامل )حاوی( پاره خط و نقطه غیر واقع برخط در یک صفحه مفروضاند. فرض کنیم اندازه برابر α باشد دایره محیطی مثلث را رسم میکنیم. اگر از هر نقطه روی کمان به جز و به و وصل کنیم اندازه زاویه پدید آمده برابر α است چرا به عکس اگر P هر زاویهای به اندازه α باشد آنگاه P روی کمان واقع است زیرا اگر P روی کمان واقع نباشد خطP دایره را در نقطهای مانند ʹP قطع میکند پس اندازه P برابر α است اما این امکان ندارد )چرا (. بنابراین: مجموعه نقاطی از صفحه که از آن نقاط پاره خط به زاویه 360-2 با اندازه α دیده می شود دو کمان هم اندازه از دو دایره قابل انطباق است به جز نقاط انتهایی کمان ها این کمان ها را کمان های حاوی زاویه α وابسته به پاره خط می نامند. نشان دهید کمان های N به جز و در این دو دایره کمان های حاوی زاویه به اندازه α 180 است یعنی مجموعه نقاطی که از آنها پاره خط به زاویه α 180 دیده می شود. اگر 90= α این کمان ها چگونه اند 31
90- R 180- )خواندنی( اگر از مرکز دایره شامل کمان حاوی به و وصل کنیم و عمود منصف پاره خط را نیز رسم کنیم اندازه زاویه برابر α یا α 180 است چرا در نتیجه اندازه برابر α 90 یا 90 (α α منفرجه باشد(. با استفاده از این مفهوم و عمود منصف یک پاره خط روش رسم دایره های شامل کمان حاوی را بیان کنید. N.a = 2Rsinα یا sin a R α= 2 اگر شعاع کمان حاوی α برابر R و اندازه پاره خط برابر α باشد نشان دهید: 32